$ A\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
同時右乘反矩陣求出三階方陣A
$ A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \end{bmatrix} $ $$ =\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$
$ A\vec{v}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} $
解得$$ v_1+v_3=2 $$ $$ v_2=0 $$ 所以 $ \vec{v}= \begin{bmatrix} k\\ 0\\ 2-k \end{bmatrix},k\in\mathbb{R} $