112學測試題數學B詳解

Ans: $$Y=KX^{3}$$ ，理論上轉速越高用電量越高(K>0)，成正比的定義為兩個變數呈倍數關係(此倍數不為0)，圖1即為所求，知道 $$y=x^3$$ 的長相與成正比的定義即可做出。

Ans:只要會逆矩陣的求法與注意矩陣乘法沒有交換律即可輕鬆得分。

$$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$ 答案選(2)。

Ans:假設下圖紅線為x則 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$ 選項4即為所求。

$$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$ 29名考生的分數從小排到大後Q1為第八名學生的分數,Q2為第15名學生的分數,Q3為第22名學生的分數，先畫個盒狀圖吧

前15名包括了Q2,Q3,P95都要加5分，這些集中趨勢量數都會跟著伸縮平移。

因此(a,b,c,d)=(41,65,79,97) ，答案選(3)。

Ans:考基本的條件機率的定義。

1. 奇數球有50個，所以機率是P(抽中7號球|抽中奇數球)= $$\frac{\frac{1}{100}}{\frac{50}{100}}=\frac{1}{50}$$ 其餘選項都一樣依此類推囉!
2. 質數有25個， $$1/25$$
3. 7個倍數有14個， $$1/14$$
4. 5個倍數有20個不是5的倍數有100-20=80個， $$1/80$$
5. 小於10有9個，機率是 $$1/9$$ ，此題答案為(5)。

Ans:f(x)÷g(x)=可直接用長除法除，得到商為 $$y=x^3$$0 餘式為 $$y=x^3$$1 因此 $$y=x^3$$2 解著只要把a,b關係找出即可。所以根據題意用g(x)÷f(x)可得商為 $$y=x^3$$3 餘式為-3x-17其中 $$y=x^3$$4 最後再把這個關係式代回P即 $$y=x^3$$5 ，答案選(3)。

1. 兩相交直線是雙曲線的退化圖形，先決條件是過地板的平面要通過手電筒的位置才有可能讓雙曲線退化成兩相交直線。
2. 除非地板垂直於圖中60度的角平分線，也就是圓錐體的軸才有可能。
3. 過拋物線的平面必須要與手電筒與地板連線平行。
4. 正確。
5. 通過雙曲線的平面與圓錐體的軸夾角要小於30度才行。

Ans:依照上圖簡單回推即可，(2)、(4)。

1. X(B剛開始)
2. O(A剛開始)
3. X(不是30的因數)
4. O(A剛開始)
5. X(B剛開始)

1. 無法透過加減運算把 $$y=x^3$$6 消掉。
2. d=0是反例。
3. D有兩個可能， $$y=x^3$$7 or $$y=x^3$$8 -6是有理數，符合題目要求。
4. 中點為 $$y=x^3$$9 又 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$0 ，所以AB中點確實在點C的右方。
5. $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$1 ，在 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$2 兩數之間正整數有1~14共14個，負整數只有-1一個。

此題答案選(3)(4)(5)。

Ans:首先假設甲的細菌數量為 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$3 乙的細菌數量為 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$4 其中K:經過的時間(小時)

1. 4X=8Y,X=2Y 選項正確。
2. 甲經過一個小時為 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$5 選項不正確。
3. 乙經過一個小時為 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$6 選項不正確。
4. 各經過7個小時後，乙的數量為甲的 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$7 倍 選項不正確。
5. 各經過12個小時後，乙的數量為甲的 $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$8 倍 選項正確。

此題答案為(1)(5)。

Ans:整張考卷到目前為止最難的一題，因為c>0所以P點在第一象限，而A點則有第一象限與第四象限兩種可能，先看看有沒有可能A點會落在第四象限，我們先看一張圖片

綠線+藍線即為a+c，PA為直角三角形的斜邊，兩者不相等，因此A點必在第一象限。

(1)A(a,b)在第一象限，a=b ， 選項正確。

(2)P點應該在y=x(45度線上) ，選項不正確。

(3)由PA線段等於a+c可知P點在圓外，選項不正確。

(4) $$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$9 ，上圖為等腰直角三角形，邊長比為 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$0 ， 選項正確。

(5)由(4)即可得 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$1 ，選項不正確。

此題答案為(1)(4)。

Ans:(1)東經0度+東經180度=綠線+藍線=大圓，同理赤道也是球的大圓兩者相等，選項正確。

(2)如圖，利用偉大的畢氏定理可得， $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$2 倍，選項不正確。

(3)兩者走的距離皆是以r為球半徑，圓心角為60度所對的弧長， $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$3 ，選項正確。

(4)前者走的是球體中小圓的半周長，後者走的是大圓的半周長，所以肯定不相等，選項不正確。

(5)利用向量內積為0表兩向量垂直性質判定，設A(r,0,0)，北極點P(0,0,r)，C(0,r,0)， $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$4 ，選項不正確。

本題答案為(1)、(3)。

Ans:先對兩個等式取log後，次方就可降下來囉。 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$5 接著用對數律(加法)拆開 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$6 解得 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$7

• Ans:從公差=1開始考慮有(1,2,3)(2,3,4)…..(18,19,20)共18個
• 公差=2有(1,3,5)(2,4,6)….(16,18,20)共16個
• 一直考慮到…….
• 公差=9有(1,10,19)(2,11,20)共2個

於是總共就有 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$8 個。

Ans:我們可由外角和 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$9 得知此形狀若完整畫完為一正24邊形，但這似乎派不上用場….我們發現題目的兩個向量距離其實不會很遠，所以試試看畫個圖吧。

利用國中數學兩平行線同位角相等的概念可求出此兩向量的夾角為45度，特別注意向量的夾角要將始點重合在一起，因此 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$0 。

Ans:利用摺邊相等來思考，搭配偉大的畢氏定理即可得。

過點P做垂直線段垂直正方形邊長並假設AB為x，則BC為8-x(摺邊相等)，此時利用三角形ABP解得 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$1 於是變成下圖

三角形的底有了現在剩下高還未知。

將CD假設成K，並把整個圖形補成矩形**(這個步驟比較難想)**，利用直角三角形PED即可解得 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$2 因此三角形面積為 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$3 。

相當麻煩的題目，學測就是喜歡每每這樣來一下，讓人想起106學測那難吃的排骨飯….

首先考慮5個0的00000 有4次

接者考慮4個0的有

• 00001 有3次
• 00010 有2次
• 00100 有2次
• 01000 有2次
• 10000 有3次

1可以換成2 所以共有12*2=24次

接著考慮3個0的有

• 11000 有2次
• 10100 有1次
• 10010 有1次
• 10001 有2次
• 01100 有1次
• 01010 不合
• 01001 有1次
• 00110 有1次
• 00101 有1次
• 00011 有2次

11可以換成22,12,21 所以共有12*4=48次

接著考慮2個0的有

• 11100 有1次
• 11010 不合
• 11001 有1次
• 10110 不合
• 10101 不合
• 10011 有1次
• 01110 不合
• 01101 不合
• 01011 不合
• 00111 有1次

其中111這三個位置有2*2*2=8種可能 共有4*8=32次

其實上述在列式也是要按規律去列才不會漏算，搭配一些排列組合的觀念也可以檢查像是 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$4 就可以知道三個0的情形有10種，其餘依此類推。

把紅色加起來即可，4+24+48+32=108

畫個示意圖來看看吧

本題的消失點一堆敘述都是障眼法，容易引導同學往單點透視的章節做聯想，其實對解題而言根本沒什麼關係。

Ans:(18)題目有說的三根電線桿都跟y軸平行，所以可利用同位角相等證得小三角形PAB相似大三角形PA3B3，縮放倍數為2倍，所以A1點其實就是P點與A3點之間的中點，第18題答案為1/2，這裡我只用國中數學來解題。

(19)P點只要解L與M的聯立方程式即可得，輕鬆得分唷，P(-3,1)，至於B3一樣利用中點公式就可求解，B1為P點與B3點的中點，B3(3,5)。

(20)這題我要用到兩個東西，一個是國中數學平行線截等比例線段性質，一個是高中數學的分點公式，因為三條電線桿平行，所以 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$5 於是就可利用分點公式求出 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$6 ，再用第二次分點公式求出 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$7 ，再用最後一次分點公式求出 $$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$8 。