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114高中數學學測A (多選17)(連三餘弦定理)

Sun, 19 Jul 2026 19:25:37 +0800

先畫個示意圖吧

第一次餘弦，先利用題目已知求AB長

$$ cos\angle{ABC}=\frac{9+9-\overline{AC}^2}{2\times3\times3}=\frac{-1}{8} $$ $$ \overline{AC}=\frac{9}{2} $$

第二次餘弦

$$ cos\phi=\frac{9+\frac{81}{4}-9}{2\times3\times\frac{9}{2}}=\frac{3}{4} $$

利用等弧對等圓周角

$$ \angle{BAC}=\angle{BDC}=\phi $$

第三次餘弦

$$ cos\phi=\frac{16+\overline{CD}^2-9}{2\times4\times\overline{CD}}=\frac{3}{4} $$

解得

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$$ \overline{CD}=3\pm\sqrt{2}(取正) $$

114高中數學學測數A(多選16)

Sat, 18 Jul 2026 20:10:46 +0800

這題答對率只有18%，其實比前面有些題目都還簡單，可能是大家覺得寫到後面題目會越來越難，其實不見得哦！

自己先畫個示意圖，觀察一下應該就是用點到直線的距離和畢氏定理即可求解

$$ L1:mx-y=3m-1 $$ $$ d(O,L1)=\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

拆掉絕對值後可解得

$$ m=0,\frac{3}{4}(0不合) $$

在求原點到L2的距離

$$ L2:mx+y=3m+1 $$ $$ d(O,L2)=\frac{|-1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{13}{5} $$

利用畢氏定理

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$$ \overline{AB}=2\times\frac{12}{5}=\frac{24}{5} $$

114高中數學學測數A(多選15)

Fri, 17 Jul 2026 20:15:29 +0800

這題答對率只有16%，超低的啦！

前3正的機率：

$$ （\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8} $$

第4次累積3個正面的機率：

$$ (\frac{1}{2})^4\times\binom{3}{1}=\frac{3}{16} $$

第5次累積3個正面的機率：

$$ (\frac{1}{2})^5\times\binom{4}{2}=\frac{3}{16} $$

5次仍未累積3正面的機率：

$$ （\frac{1}{2})^5\times(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5})=\frac{1}{2} $$

期望值

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$$ 240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2}=405 $$

114高中數學學測數A(多選14)

Thu, 16 Jul 2026 19:41:53 +0800

利用點到平面距離公式可得

$$ \frac{|4b+3c-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6 $$

絕對值內為負數，拆掉後可得

$$ 4b+3c=-28….(1) $$ $$ \frac{|3b+4c+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=6 $$

如果絕對值裡是正數可得

$$ 3b+4c+5=30(不合) $$

絕對值內應為負，可得

$$ 3b+4c=-35….(2) $$

最後看E3平面

$$ \frac{|a+2b+2c+2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=6 $$

絕對值內應為負，可得

$$ a+2b+2c=-20….(3) $$

綜合（1）（2）（3）可解出

$$ a=-2\quad b=-1\quad c=-8 $$ $$ a+b+c=-11 $$

Ans:-11

114高中數學學測數A(多選13)

Wed, 15 Jul 2026 19:42:56 +0800

因為f(x)為三次多項式，可知q(x)為二次多項式，先把q(x)假設出來

$$ q(x)=a(x+6)^2+8\quad(a<0) $$ $$ 又f(x)=(x+6)q(x)+3 $$ $$ f(x)=(x+6)[a(x+6)^2+8]+3 $$ $$ f(x)=a(x+6)^3+8(x+6)+3 $$ $$ 對稱中心（-6,3) $$

114高中數學學測數A(多選12)

Tue, 14 Jul 2026 20:34:43 +0800

(1)合金拆成甲乙兩部分，加起來是100%。

$$ x_k+u_k=100\quad (k=1,2…20) $$

(2)奈米轉成微米要除以1000。

$$ \frac{y_k}{1000}=v_k,\quad y_k=1000v_k\quad (k=1,2…20) $$

(3)根據

$$ u_k=-x_k+100 $$

所以

$$ \sigma_u=|-1|\times\sigma_x $$ $$ \sigma_u=\sigma_x $$

(4)利用前式

$$ x=100-u及y=1000v\quad代入迴歸式y=21.3x-40 $$

解得

$$ ｖ＝-0.0213u+2.09 $$ $$ a=-0.0213,b=2.09 $$

（5）新加入的點在迴歸直線上，殘差平方和為0，迴歸直線不會改變。

114高中數學學測數A(多選11)

Mon, 13 Jul 2026 20:35:58 +0800

（1）根據內分比性質可得

$$ \overline{CP}:\overline{PD}=4:3 $$ $$ \Rightarrow\overline{CP}=\frac{4}{7}\overline{CD} $$

(2)利用向量加法性質轉換，做出線性組合。

$$ \overrightarrow{AP}＝\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} $$

(3)餘弦定理，送分啦！

$$ cos\angle{BAC}=\frac{25+36-16}{2\times5\times6}=\frac{3}{4} $$

(4)三邊長都給你了，還有別的嗎？當然是海龍公式，送分啦！

$$ \triangle{ABC}_a=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{7} $$ $$ \triangle{ACP}_a=\frac{15}{4}\sqrt{7}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{7}=\frac{15}{14}\sqrt{7} $$

(5)高中數學的多選題後面的選項，不要空想，常常會用到前面算出來的東西，前面做不出來後面就很難拿分！

$$ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{120}{7} $$

Ans:(3)(4)(5)

114高中數學學測數A(多選10)

Sun, 12 Jul 2026 19:55:57 +0800

（1）若k<0，無法滿足題目要求

$$ x_1<x_2<1<x_3 $$

(2)有4個交點

（3）由圖形對稱性可得

$$ x_1+x_2=1 $$

(4)

$$ 2\overline{PQ}=2(x_2-x_1)=2(1-x_1-x_1)=2-4x_1 $$ $$ \overline{QR}=x_3-x_2=(2+x_1)-(1-x_1)=1+2x_1 $$ $$ 解得x_1=\frac{1}{6} $$ $$ 驗算一下，sin\frac{1}{6}\pi=\frac{1}{2}，原式成立。 $$

R點也可能在最右邊，此時

$$ \overline{QR}=(x_3-x_2)=(3-x_1)-(1-x_1)=2 $$ $$ 解得x=0，不合。 $$

（5）

$$ x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+(1-x_1)+(2+x_1)+(3-x_1)=6 $$

Ans:(1)(4)(5)

114高中數學學測數A(多選9)

Sat, 04 Jul 2026 17:32:13 +0800

$$ 可得b^2-4c\ge0與(b+2)^2-4c<0 $$ $$ 合併可得b^2\ge4c>(b+2)^2 $$

(1)由

$$ 4c>(b+2)^2 $$

可得

$$ c>0 $$

(2)整理一下

$$ b^2>(b+2)^2 $$

可得

$$ b<-1 $$

(3)整理

$$ (b+1)^2-4c＝b^2-4c+2b+1其中(b^2-4c\ge0\quad b<-1)無法確定正負 $$

可得

(4)

$$ (b+2)^2+4c>0 $$

有兩相異實根。

（5）

$$ (b-2)^2-4c=b^2-4c-4b+4>0 $$

有兩相異實根。

正解：（2）（4）（5）

114高中數學學測數A (多選8)

Wed, 01 Jul 2026 20:36:41 +0800

將原式配方整理後可得圓方程式如下：

$$ （x-1）^2+y^2=4 $$

此為圓心（1,0）半徑=2之圓方程式

$$ (1)直線方程式x=3與此圓方程式之切線，交於1點，有兩相等實根。 $$

（2）此圖形並未於原點有點對稱的現象。

（3）正確。

（4）解方程式判斷有無交點即可。

$$ y=-x+4\quad代入（x-1）^2+y^2=4 $$ $$ 整理後可得x^2-5x+\frac{13}{2}=0 $$ $$ 判別式<0\rightarrow無交點 $$

(5)求極值當然用柯西不等式啦！

$$ 令\vec{a}=(x-1,y)\quad\vec{b}=(1,-1) $$ $$ [(x-1)^2+y^2]\times[1^2+(-1)^2]\ge（x-1-y）^2 $$ $$ 1-2\sqrt{2}\le x-y\le1+2\sqrt{2} $$

正解：（3）（5）

無窮大有多大？

Sat, 20 Jun 2026 19:19:18 +0800

無窮大看起來只是個抽象概念，但它其實讓數學家發現了一件不可思議的事情:

原來無窮大也有大小之分。

有些無窮比另一些無窮還要大。

還記得高一數學學過的無理數嗎？圓周率𝛑≈3.1415926….. 無窮不循環小數

或是超越數e≈2.71828…..

或是數線上任意兩個整數之間，比如說1和2，相加除以2得到1.5，再用1和1.5相加除以2又可以得到1.25，因此我們可以在1和2之間找出無窮個有理數

無窮有很多個嗎?

1和2之間存在無窮個有理數，2和3之間也是，或是隨便一個小數後面有無窮多位等等，一大堆的無窮，所以我們會遇到很多種『無窮』的情況。

無窮有大小之分嗎?

啊不是都無窮大了?那無窮大應該都一樣大吧!

1874年，俄裔德國數學家(Georg Cantor)康托發表正式論文證明了無窮大也有大小之分。

康托如何證明?

1891年他用著名的對角線證明

將所有的自然數對應所有的小數

可以造出一個新的小數不在表上

證實了自然數與實數無法一一對應

比如說


1	0.423548…
2	0.589142…
3	0.452572…
4	0.958425…
…………	……………..

把對角線4824取出來每個數字+1得到5935後

取0.5935……..

0.5935小數第一位和第一個數字不一樣

0.5935小數第二位和第二個數字不一樣

0.5935小數第三位和第三個數字不一樣

0.5935小數第四位和第四個數字不一樣

0.5935…….這個數字在上面的無限排列表裡面找不到

因此實數與自然數無法一一對應

可以想像成有人說有無窮間旅館可以住

但是康托都可以找到有人沒有房間住

因此實數的集合是大於自然數的集合的

自然數也是無窮多個

實數也是無窮多個

但實數的無窮比自然數更大

康托因此創立集合論

從此數學家知道無窮其實有不同等級

什麼是googol(古戈爾)?（延伸閱讀）

「古戈爾（Googol）」這個名字其實沒有什麼數學意義，而是一個小孩發明的名字。

1920年左右，美國數學家 Edward Kasner 想幫1010010^{100}(1後面有100個0)

這個超大的數字取個名字。

於是他問自己 9 歲的外甥 Milton Sirotta：

「你覺得這麼大的數字應該叫什麼？」

小朋友隨口回答：

「Googol！」

Kasner 覺得這名字很有趣，就採用了。

後來創辦GOOGLE的工程師想讓搜尋引擎建立海量的資料，於是就採用Googol當作公司名稱，但是拼錯了，拼成Google，這也就是"Google"的由來!!

Googolplex?

$$ 10^{10^{100}} $$

114高中數學學測數A（單選6）(空間向量)

Sun, 28 Dec 2025 20:32:11 +0800

這題的解題關鍵在於向量內積的定義，就是最上面第三行長度的平方等於自己內積自己，用這個定義造出聯立方程組就可以求解啦～！

114高中數學學測數A（單選4~5）(對數函數與三角函數的圖形)

Sun, 26 Oct 2025 19:25:53 +0800

先畫個圖吧

利用底數大於1的對數函數圖形是嚴格遞增的特性

比如說Y座標為1的X座標就要從3數到30（因為(2,1)不能算）

總共有

(3,1)…..(30,1)共28個

(5,2)….(30,2)共26個

(9,3)….(30,3)共22個

(17,4)….(30,4)共14個

一共90個

Ans:(3)

$0<\theta<\cfrac{\pi}{3} \bigcup \pi<\theta<\cfrac{5\pi}{3}$

$\cfrac{2\pi}{3}<\theta<\cfrac{4\pi}{3}$

最後取兩圖形的交集

$\pi<\theta<\cfrac{4\pi}{3}$

$b-a=\cfrac{4}{3}-1=\cfrac{1}{3}$

Ans:(1)

🙀這題夭壽難，需要知道如何判斷函數的週期畫出圖形，還要找出圖形交點的X座標，最後記得三個範圍取交集啊！！！！

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114高中數學學測數A（單選1~3）(獨立事件、直線方程式、排列組合)

Sat, 25 Oct 2025 21:59:06 +0800

$P(藍\cap1號)＝P(藍)\times P(1號)$

$\cfrac{2}{9+k}=\cfrac{5}{9+k}\times \cfrac{6}{9+k}$

解得k=6 or -9(取正)

Ans:(5)

😘兩獨立事件的交集定義！easy~

先分別求出兩條直線的Y截點分別為

（0,$\cfrac{3a}{2}$）與（0,$\cfrac{4a}{3}$）

三角形面積等於

$(\frac{3a}{2}-\frac{4a}{3})\times a \times \frac{1}{2}=3$

解得a=6 or -6(取正)

Ans:(2)

🧒🏻Point:利用斜率與直線上一點即可寫出直線方程式～

利用加法原理來分類討論

（1）討論歌唱排第三只有小鋼歌與鋼小歌兩種

總共有：$2\times5!4!3!$

(2)討論歌唱排第二只有鋼歌小與小歌鋼兩種

總共有：$2\times5!4!3!$ （當然跟上面一樣）

總計4種情形：就是$4\times5!4!3!$囉

Ans:(4)

😄單純的利用最原始的加法原理一一羅列即可得分！千萬別用取捨原理做啊～

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113分科測驗高中數學甲詳解 -『陳偉數學』

Fri, 26 Jul 2024 16:28:48 +0800

113高中數學分科測驗練功坊多項式函數(倒數3天上戰場)

Tue, 09 Jul 2024 19:17:32 +0800

https://youtu.be/CNOo8fMuRHY

影片詳解