https://mathmanstudio.com/categories/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%96%87%E7%AB%A0/Recent content in 數學文章 on MathManStudio.comHugozh-TWSat, 20 Jun 2026 19:19:18 +0800https://mathmanstudio.com/posts/%E7%84%A1%E7%AA%AE%E5%A4%A7%E6%9C%89%E5%A4%9A%E5%A4%A7/Sat, 20 Jun 2026 19:19:18 +0800https://mathmanstudio.com/posts/%E7%84%A1%E7%AA%AE%E5%A4%A7%E6%9C%89%E5%A4%9A%E5%A4%A7/<blockquote> <p>無窮大看起來只是個抽象概念，但它其實讓數學家發現了一件不可思議的事情:</p> <p>原來無窮大也有大小之分。</p> <p>有些無窮比另一些無窮還要大。</p> </blockquote> <p>還記得高一數學學過的無理數嗎？圓周率𝛑≈3.1415926&hellip;.. 無窮不循環小數</p> <p>或是超越數e≈2.71828&hellip;..</p> <p>或是數線上任意兩個整數之間，比如說1和2，相加除以2得到1.5，再用1和1.5相加除以2又可以得到1.25，因此我們可以在1和2之間找出無窮個有理數</p> <p>無窮有很多個嗎?</p> <p>1和2之間存在無窮個有理數，2和3之間也是，或是隨便一個小數後面有無窮多位等等，一大堆的無窮，所以我們會遇到很多種『無窮』的情況。</p> <p>無窮有大小之分嗎?</p> <p>啊不是都無窮大了?那無窮大應該都一樣大吧!</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2026/06/image-758x1024.png"></p> <p>1874年，俄裔德國數學家(Georg Cantor)康托發表正式論文證明了無窮大也有大小之分。</p> <p>康托如何證明?</p> <p>1891年他用著名的對角線證明</p> <p>將所有的自然數對應所有的小數</p> <p>可以造出一個新的小數不在表上</p> <p>證實了自然數與實數無法一一對應</p> <p>比如說</p> <table> <thead> <tr> <th></th> <th></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>1</td> <td>0.423548&hellip;</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>0.589142&hellip;</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>0.452572&hellip;</td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>0.958425&hellip;</td> </tr> <tr> <td>&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;</td> <td>&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;..</td> </tr> </tbody> </table> <p>把對角線4824取出來每個數字+1得到5935後</p> <p>取0.5935&hellip;&hellip;..</p> <p>0.5935小數第一位和第一個數字不一樣</p> <p>0.5935小數第二位和第二個數字不一樣</p> <p>0.5935小數第三位和第三個數字不一樣</p> <p>0.5935小數第四位和第四個數字不一樣</p> <p>0.5935&hellip;&hellip;.這個數字在上面的無限排列表裡面找不到</p> <p>因此實數與自然數無法一一對應</p> <p>可以想像成有人說有無窮間旅館可以住</p> <p>但是康托都可以找到有人沒有房間住</p> <p>因此實數的集合是大於自然數的集合的</p> <blockquote> <p>自然數也是無窮多個</p> <p>實數也是無窮多個</p> <p>但實數的無窮比自然數更大</p> <p>康托因此創立集合論</p> <p>從此數學家知道無窮其實有不同等級</p> </blockquote> <p>什麼是googol(古戈爾)?（延伸閱讀）</p> <p>「古戈爾（Googol）」這個名字其實沒有什麼數學意義，而是<strong>一個小孩發明的名字</strong>。</p> <p>1920年左右，美國數學家 Edward Kasner 想幫1010010^{100}(1後面有100個0)</p> <p>這個超大的數字取個名字。</p> <p>於是他問自己 9 歲的外甥 Milton Sirotta：</p> <p>「你覺得這麼大的數字應該叫什麼？」</p> <p>小朋友隨口回答：</p> <p>「Googol！」</p> <p>Kasner 覺得這名字很有趣，就採用了。</p> <p>後來創辦GOOGLE的工程師想讓搜尋引擎建立海量的資料，於是就採用Googol當作公司名稱，但是拼錯了，拼成Google，這也就是&quot;Google&quot;的由來!!</p> <p>Googolplex?</p> <p>$$ 10^{10^{100}} $$</p>https://mathmanstudio.com/posts/%E5%AD%B8%E6%A0%A1%E6%B2%92%E6%95%99%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%B6%85%E5%A5%BD%E7%94%A8%E6%B2%92%E6%9C%89%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F%E7%9A%84%E5%81%B7%E5%90%83%E6%AD%A5%E5%A6%82%E4%BD%95/Thu, 09 May 2024 18:30:47 +0800https://mathmanstudio.com/posts/%E5%AD%B8%E6%A0%A1%E6%B2%92%E6%95%99%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%B6%85%E5%A5%BD%E7%94%A8%E6%B2%92%E6%9C%89%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F%E7%9A%84%E5%81%B7%E5%90%83%E6%AD%A5%E5%A6%82%E4%BD%95/<p>今天就來學學，當學校數學考試無法使用計算機時(當然幾乎都不能用)，要如何通過<strong>筆算</strong>來求得平方根，這可以幫助你在估計答案的時候無往不利哦!其實過程相當容易哦，只有一個模式!!</p> <hr> <p>現在說明不用計算機，馬上就可以估計根號23的方法~</p> <p>首先在根號裡寫下23，接者以兩個0為一組，看需要估計到小數點下第幾位，一般來說小數點以下兩位就很夠用了，所以寫上4個0。</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2024/05/Untitled-Draft-1-1-1024x111.jpg"></p> <p>接著取根號23的整數部分，它是4點多&hellip;.，所以取4，在23上方寫4，左方寫2個4。</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2024/05/Untitled-Draft-1-2-1024x220.jpg"></p> <p>接者，記得重要口訣：<strong>右乘左加</strong>，右邊得到16，左邊得到8，再用23-16得到7，接著把旁邊的2個0掉下來</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2024/05/I-00-0-1-1024x318.jpg"></p> <p>這樣就產出根號23的第一個數字4了，接者在數字8的旁邊與下方各加上一個框框，這2個框框就是小數點後第一位數字，要填入乘起來最接近700的數字，於是填入7，再用右乘左加的原則得到700-609=71，87+7=94，右側2個0掉下來，如下</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2024/05/I-00-0-1-1-1-1024x493.jpg"></p> <p>繼續<strong>同樣的操作</strong>，得到以下結果，4.79，大功告成！要求到幾位，就求到幾位！</p> <p><img loading="lazy" src="https://mathmanstudio.com/wp-content/uploads/2024/05/I-00-0-1-2-1024x653.jpg"></p> <p>嘿嘿，上面的方法即使有小數點也適用哦，比如要估計23.21的平方根，就只用把00改成21就可以囉！任何數都可以用此方法找出平方根，當人家在用國中的十分逼近法找個半死的時候，你已捷足先登！</p> <p><a href="https://youtu.be/oxsBEt0km">https://youtu.be/oxsBEt0km</a>_g</p> <p>影片講解</p>