學測 on MathManStudio.com

114高中數學學測A (多選17)(連三餘弦定理)

Sun, 19 Jul 2026 19:25:37 +0800

先畫個示意圖吧

第一次餘弦，先利用題目已知求AB長

$$ cos\angle{ABC}=\frac{9+9-\overline{AC}^2}{2\times3\times3}=\frac{-1}{8} $$ $$ \overline{AC}=\frac{9}{2} $$

第二次餘弦

$$ cos\phi=\frac{9+\frac{81}{4}-9}{2\times3\times\frac{9}{2}}=\frac{3}{4} $$

利用等弧對等圓周角

$$ \angle{BAC}=\angle{BDC}=\phi $$

第三次餘弦

$$ cos\phi=\frac{16+\overline{CD}^2-9}{2\times4\times\overline{CD}}=\frac{3}{4} $$

解得

查看答案收起答案

$$ \overline{CD}=3\pm\sqrt{2}(取正) $$

114高中數學學測數A(多選16)

Sat, 18 Jul 2026 20:10:46 +0800

這題答對率只有18%，其實比前面有些題目都還簡單，可能是大家覺得寫到後面題目會越來越難，其實不見得哦！

自己先畫個示意圖，觀察一下應該就是用點到直線的距離和畢氏定理即可求解

$$ L1:mx-y=3m-1 $$ $$ d(O,L1)=\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

拆掉絕對值後可解得

$$ m=0,\frac{3}{4}(0不合) $$

在求原點到L2的距離

$$ L2:mx+y=3m+1 $$ $$ d(O,L2)=\frac{|-1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{13}{5} $$

利用畢氏定理

查看答案收起答案

$$ \overline{AB}=2\times\frac{12}{5}=\frac{24}{5} $$

114高中數學學測數A(多選15)

Fri, 17 Jul 2026 20:15:29 +0800

這題答對率只有16%，超低的啦！

前3正的機率：

$$ （\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8} $$

第4次累積3個正面的機率：

$$ (\frac{1}{2})^4\times\binom{3}{1}=\frac{3}{16} $$

第5次累積3個正面的機率：

$$ (\frac{1}{2})^5\times\binom{4}{2}=\frac{3}{16} $$

5次仍未累積3正面的機率：

$$ （\frac{1}{2})^5\times(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5})=\frac{1}{2} $$

期望值

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$$ 240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2}=405 $$

114高中數學學測數A(多選14)

Thu, 16 Jul 2026 19:41:53 +0800

利用點到平面距離公式可得

$$ \frac{|4b+3c-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6 $$

絕對值內為負數，拆掉後可得

$$ 4b+3c=-28….(1) $$ $$ \frac{|3b+4c+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=6 $$

如果絕對值裡是正數可得

$$ 3b+4c+5=30(不合) $$

絕對值內應為負，可得

$$ 3b+4c=-35….(2) $$

最後看E3平面

$$ \frac{|a+2b+2c+2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=6 $$

絕對值內應為負，可得

$$ a+2b+2c=-20….(3) $$

綜合（1）（2）（3）可解出

$$ a=-2\quad b=-1\quad c=-8 $$ $$ a+b+c=-11 $$

Ans:-11

114高中數學學測數A(多選13)

Wed, 15 Jul 2026 19:42:56 +0800

因為f(x)為三次多項式，可知q(x)為二次多項式，先把q(x)假設出來

$$ q(x)=a(x+6)^2+8\quad(a<0) $$ $$ 又f(x)=(x+6)q(x)+3 $$ $$ f(x)=(x+6)[a(x+6)^2+8]+3 $$ $$ f(x)=a(x+6)^3+8(x+6)+3 $$ $$ 對稱中心（-6,3) $$

114高中數學學測數A(多選12)

Tue, 14 Jul 2026 20:34:43 +0800

(1)合金拆成甲乙兩部分，加起來是100%。

$$ x_k+u_k=100\quad (k=1,2…20) $$

(2)奈米轉成微米要除以1000。

$$ \frac{y_k}{1000}=v_k,\quad y_k=1000v_k\quad (k=1,2…20) $$

(3)根據

$$ u_k=-x_k+100 $$

所以

$$ \sigma_u=|-1|\times\sigma_x $$ $$ \sigma_u=\sigma_x $$

(4)利用前式

$$ x=100-u及y=1000v\quad代入迴歸式y=21.3x-40 $$

解得

$$ ｖ＝-0.0213u+2.09 $$ $$ a=-0.0213,b=2.09 $$

（5）新加入的點在迴歸直線上，殘差平方和為0，迴歸直線不會改變。

114高中數學學測數A(多選11)

Mon, 13 Jul 2026 20:35:58 +0800

（1）根據內分比性質可得

$$ \overline{CP}:\overline{PD}=4:3 $$ $$ \Rightarrow\overline{CP}=\frac{4}{7}\overline{CD} $$

(2)利用向量加法性質轉換，做出線性組合。

$$ \overrightarrow{AP}＝\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} $$

(3)餘弦定理，送分啦！

$$ cos\angle{BAC}=\frac{25+36-16}{2\times5\times6}=\frac{3}{4} $$

(4)三邊長都給你了，還有別的嗎？當然是海龍公式，送分啦！

$$ \triangle{ABC}_a=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{7} $$ $$ \triangle{ACP}_a=\frac{15}{4}\sqrt{7}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{7}=\frac{15}{14}\sqrt{7} $$

(5)高中數學的多選題後面的選項，不要空想，常常會用到前面算出來的東西，前面做不出來後面就很難拿分！

$$ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{120}{7} $$

Ans:(3)(4)(5)

114高中數學學測數A(多選10)

Sun, 12 Jul 2026 19:55:57 +0800

（1）若k<0，無法滿足題目要求

$$ x_1<x_2<1<x_3 $$

(2)有4個交點

（3）由圖形對稱性可得

$$ x_1+x_2=1 $$

(4)

$$ 2\overline{PQ}=2(x_2-x_1)=2(1-x_1-x_1)=2-4x_1 $$ $$ \overline{QR}=x_3-x_2=(2+x_1)-(1-x_1)=1+2x_1 $$ $$ 解得x_1=\frac{1}{6} $$ $$ 驗算一下，sin\frac{1}{6}\pi=\frac{1}{2}，原式成立。 $$

R點也可能在最右邊，此時

$$ \overline{QR}=(x_3-x_2)=(3-x_1)-(1-x_1)=2 $$ $$ 解得x=0，不合。 $$

（5）

$$ x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+(1-x_1)+(2+x_1)+(3-x_1)=6 $$

Ans:(1)(4)(5)

114高中數學學測數A(多選9)

Sat, 04 Jul 2026 17:32:13 +0800

$$ 可得b^2-4c\ge0與(b+2)^2-4c<0 $$ $$ 合併可得b^2\ge4c>(b+2)^2 $$

(1)由

$$ 4c>(b+2)^2 $$

可得

$$ c>0 $$

(2)整理一下

$$ b^2>(b+2)^2 $$

可得

$$ b<-1 $$

(3)整理

$$ (b+1)^2-4c＝b^2-4c+2b+1其中(b^2-4c\ge0\quad b<-1)無法確定正負 $$

可得

(4)

$$ (b+2)^2+4c>0 $$

有兩相異實根。

（5）

$$ (b-2)^2-4c=b^2-4c-4b+4>0 $$

有兩相異實根。

正解：（2）（4）（5）

114高中數學學測數A (多選8)

Wed, 01 Jul 2026 20:36:41 +0800

將原式配方整理後可得圓方程式如下：

$$ （x-1）^2+y^2=4 $$

此為圓心（1,0）半徑=2之圓方程式

$$ (1)直線方程式x=3與此圓方程式之切線，交於1點，有兩相等實根。 $$

（2）此圖形並未於原點有點對稱的現象。

（3）正確。

（4）解方程式判斷有無交點即可。

$$ y=-x+4\quad代入（x-1）^2+y^2=4 $$ $$ 整理後可得x^2-5x+\frac{13}{2}=0 $$ $$ 判別式<0\rightarrow無交點 $$

(5)求極值當然用柯西不等式啦！

$$ 令\vec{a}=(x-1,y)\quad\vec{b}=(1,-1) $$ $$ [(x-1)^2+y^2]\times[1^2+(-1)^2]\ge（x-1-y）^2 $$ $$ 1-2\sqrt{2}\le x-y\le1+2\sqrt{2} $$

正解：（3）（5）

114高中數學學測數A（單選6）(空間向量)

Sun, 28 Dec 2025 20:32:11 +0800

這題的解題關鍵在於向量內積的定義，就是最上面第三行長度的平方等於自己內積自己，用這個定義造出聯立方程組就可以求解啦～！

114高中數學學測數A（單選4~5）(對數函數與三角函數的圖形)

Sun, 26 Oct 2025 19:25:53 +0800

先畫個圖吧

利用底數大於1的對數函數圖形是嚴格遞增的特性

比如說Y座標為1的X座標就要從3數到30（因為(2,1)不能算）

總共有

(3,1)…..(30,1)共28個

(5,2)….(30,2)共26個

(9,3)….(30,3)共22個

(17,4)….(30,4)共14個

一共90個

Ans:(3)

$0<\theta<\cfrac{\pi}{3} \bigcup \pi<\theta<\cfrac{5\pi}{3}$

$\cfrac{2\pi}{3}<\theta<\cfrac{4\pi}{3}$

最後取兩圖形的交集

$\pi<\theta<\cfrac{4\pi}{3}$

$b-a=\cfrac{4}{3}-1=\cfrac{1}{3}$

Ans:(1)

🙀這題夭壽難，需要知道如何判斷函數的週期畫出圖形，還要找出圖形交點的X座標，最後記得三個範圍取交集啊！！！！

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114高中數學學測數A（單選1~3）(獨立事件、直線方程式、排列組合)

Sat, 25 Oct 2025 21:59:06 +0800

$P(藍\cap1號)＝P(藍)\times P(1號)$

$\cfrac{2}{9+k}=\cfrac{5}{9+k}\times \cfrac{6}{9+k}$

解得k=6 or -9(取正)

Ans:(5)

😘兩獨立事件的交集定義！easy~

先分別求出兩條直線的Y截點分別為

（0,$\cfrac{3a}{2}$）與（0,$\cfrac{4a}{3}$）

三角形面積等於

$(\frac{3a}{2}-\frac{4a}{3})\times a \times \frac{1}{2}=3$

解得a=6 or -6(取正)

Ans:(2)

🧒🏻Point:利用斜率與直線上一點即可寫出直線方程式～

利用加法原理來分類討論

（1）討論歌唱排第三只有小鋼歌與鋼小歌兩種

總共有：$2\times5!4!3!$

(2)討論歌唱排第二只有鋼歌小與小歌鋼兩種

總共有：$2\times5!4!3!$ （當然跟上面一樣）

總計4種情形：就是$4\times5!4!3!$囉

Ans:(4)

😄單純的利用最原始的加法原理一一羅列即可得分！千萬別用取捨原理做啊～

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113學測數A詳解

Tue, 30 Jan 2024 20:42:13 +0800

03-113學測數A試題-1 下載

單選1

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單選2

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單選3

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單選4

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單選5

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單選6

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多選7

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多選8

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多選9

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多選10

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多選11

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多選12

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選填13

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選填14

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選填15

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選填16

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選填17

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單選18

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非選19

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非選20

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113學測數B詳解

Tue, 30 Jan 2024 16:12:49 +0800

03-113學測數A試題下載

單選1

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單選2

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單選3

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單選4

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單選5

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單選6

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多選7

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多選8

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多選9

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多選10

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多選11

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多選12

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選填13

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選填14

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選填15

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選填16

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選填17

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題組18

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高中數學絕對值不等式難度:★

國中數學數列(找規律) 難度:★

高中數學排列組合難度:★

高中數學平面向量難度:★

高中數學矩陣難度:★

高中數學球難度:★★

題目稍微理解後

其實算法超簡單

高中數學單點透視法難度:★

大考很流行

出這類贅詞一堆真正用到只有一小部分的考題

高中數學直線與圓難度:★★

第五個選項

用圓方程式解會變得比較複雜，不是不能解，也可以解!

高中數學三次函數難度:★★

高中數學數據分析難度:★★★

第五個選項

這種不確定對不對的選項最難判斷了

高中數學數據分析難度:★

考你內積的基本定義

A Piece Of Cake

111學測試題數學A詳解

Tue, 25 Apr 2023 11:26:32 +0800

高中數學排列組合難度:★

高中數學對數的運算難度:★★

高中數學數據分析難度:★★

高中數學指數與對數難度:★

高中數學條件機率貝氏定理難度:★★

高中數學直線方程式難度:★★

國中數學不等式二次函數一元二次方程式難度:★★

高中數學三角比難度:★★

高中數學平面向量難度:★★★★

高中數學多項式難度:★★★★

高中數學三角比難度:★★

高中數學多項式難度:★★★

高中數學數學期望值難度:★★

高中數學矩陣難度:★★

112學測試題數學B詳解

Tue, 14 Mar 2023 18:58:12 +0800

Ans: $$Y=KX^{3}$$ ，理論上轉速越高用電量越高(K>0)，成正比的定義為兩個變數呈倍數關係(此倍數不為0)，圖1即為所求，知道 $$y=x^3$$ 的長相與成正比的定義即可做出。


範圍:高中數學多項式難度:★

Ans:只要會逆矩陣的求法與注意矩陣乘法沒有交換律即可輕鬆得分。

$$b=\frac{7}{2},c=3,c-2b=-4$$ 答案選(2)。


範圍:高中數學矩陣難度:★

Ans:假設下圖紅線為x則 $$cos22^{\circ}=\frac{150}{x},x=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$ 選項4即為所求。


範圍:高中數學三角比難度:★

$$29\times \frac{1}{4}=7…,29\times \frac{1}{2}=14….,29\times \frac{3}{4}=21…$$ 29名考生的分數從小排到大後Q1為第八名學生的分數,Q2為第15名學生的分數,Q3為第22名學生的分數，先畫個盒狀圖吧

前15名包括了Q2,Q3,P95都要加5分，這些集中趨勢量數都會跟著伸縮平移。

因此(a,b,c,d)=(41,65,79,97) ，答案選(3)。


範圍:國中數學資料分析難度:★

Ans:考基本的條件機率的定義。

奇數球有50個，所以機率是P(抽中7號球|抽中奇數球)= $$\frac{\frac{1}{100}}{\frac{50}{100}}=\frac{1}{50}$$ 其餘選項都一樣依此類推囉!
質數有25個， $$1/25$$
7個倍數有14個， $$1/14$$
5個倍數有20個不是5的倍數有100-20=80個， $$1/80$$
小於10有9個，機率是 $$1/9$$ ，此題答案為(5)。


範圍:高二數學機率(條件機率) 難度:★

Ans:f(x)÷g(x)=可直接用長除法除，得到商為 $$y=x^3$$0 餘式為 $$y=x^3$$1 因此 $$y=x^3$$2 解著只要把a,b關係找出即可。所以根據題意用g(x)÷f(x)可得商為 $$y=x^3$$3 餘式為-3x-17其中 $$y=x^3$$4 最後再把這個關係式代回P即 $$y=x^3$$5 ，答案選(3)。

112學測試題數學A詳解

Tue, 14 Mar 2023 18:56:50 +0800

Ans:沒有懸念，由題意可得 $$\sqrt{\sqrt{\sqrt{N}}}=2\rightarrow (({{(N)^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}=2 \rightarrow N^{\frac{1}{8}}=2$$ 可以推得 $$N=2^{8}$$ 答案選(4)

範圍:國一數學指數律難度:★

Ans:因為tanθ沒辦法直接求，所以要先把θ換到∠COD

於是 $$tan\Theta =\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CD}}{{1}}$$ 簡單考考正切三角比的定義而已!!

範圍:高一數學三角比難度:★

Ans:題目原本的數據是 $$(s_{1},t_{1}),(s_{2},t_{2})\cdots (s_{15},t_{15})$$ 接著老師要求把y座標取log變成 $$(s_{1},logt_{1}),(s_{2},logt_{2})\cdots (s_{15},logt_{15})$$ 也就是說圖上的座標就是新座標的散佈圖然後要問s與t的關係為何?

我觀察到散佈圖的斜率大約為 $$\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}$$ 也就是 $$\frac{1}{2}=\frac{logt}{s}\to logt=\frac{s}{2}$$ 最後一步根據對數的定義把它寫回指數的樣子就ok拉 $$10^{\frac{s}{2}}=t\to10^{s}=t^{2}$$ 這題說真的還蠻不好想的，坊間高中數學的參考書也不太會出現這麼靈活的題型~

範圍:高二數學數據分析難度:★★★

Ans:根據題目的要求我們可以發現最中間的數字除了9之外其他都不可能滿足題目的要求，像這樣 $$1234{\color{Blue} 9}8765$$ 因此9就可以先不管它，現在考慮1~8這8個數字前4位遞增後4位遞減就好，於是我隨便亂排一個數字出來，8個數字全取直排有8!種例如 $$25436817$$ 就是其中一種，但是根據題目規則只能把前四個數字排成 $$N=2^{8}$$0 後4個數字排成 $$N=2^{8}$$1 也就是 $$N=2^{8}$$2 所以前4個數字與後4個數字的排列數要除掉也就是有 $$N=2^{8}$$3 這麼多種方法數，這題測驗組合數學中的相同物排列的基本觀念哦!!

範圍:高二數學排列組合難度:★★

陷阱題，小心別把P點當成 $$N=2^{8}$$4 Q點當成 $$N=2^{8}$$5 ，以(1)選項為例，直接把 $$N=2^{8}$$6 當成三個向量擺進行列式裡加絕對值算平行六面體的體積，再用點到平面距離公式算高，點跟平面距離最遠的面積最大—>馬上0分，除非(0,0,0)有在平面上才可以這樣解，出題者抓準了考生會誤用三階行列式解題的心理!

Ans:應該再多假設1個點為T，以(1)選項為例， $$N=2^{8}$$7 利用 $$N=2^{8}$$8 為三個向量張出的平行六面體體積來求解，其中 $$N=2^{8}$$9 為平面 $$tan\Theta =\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CD}}{{1}}$$0 的法向量的係數積，因此可以取 $$tan\Theta =\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CD}}{{1}}$$1 來做計算，從第二個選項得到 $$tan\Theta =\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CD}}{{1}}$$2 會最大，這題考到空間向量後段很容易會忽略的計算平行六面體的公式。

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114高中數學學測A (多選17)(連三餘弦定理)

114高中數學學測數A(多選16)

114高中數學學測數A(多選15)

114高中數學學測數A(多選14)

114高中數學學測數A(多選13)

114高中數學學測數A(多選12)

114高中數學學測數A(多選11)

114高中數學學測數A(多選10)

114高中數學學測數A(多選9)

114高中數學學測數A (多選8)

114高中數學學測數A（單選6）(空間向量)

114高中數學學測數A（單選4~5）(對數函數與三角函數的圖形)

114高中數學學測數A（單選1~3）(獨立事件、直線方程式、排列組合)

113學測數A詳解

單選1

單選2

單選3

單選4

單選5

單選6

多選7

多選8

多選9

多選10

多選11

多選12

選填13

選填14

選填15

選填16

選填17

單選18

非選19

非選20

113學測數B詳解

單選1

單選2

單選3

單選4

單選5

單選6

多選7

多選8

多選9

多選10

多選11

多選12

選填13

選填14

選填15

選填16

選填17

題組18

選填19

選填20

學測數A 113高中數學練功系列 (空間中點與直線的關係)

學測數A 113高中數學練功系列 (直線與平面的關係)

學測數A 113高中數學練功系列 (直線方程式)

學測數A 113高中數學練功系列 (空間中直線方程式的圖形)

學測數A 113高中數學練功系列 (直線的方向向量)

學測數A 113高中數學練功系列 (點到平面的最近距離)

學測數A 113高中數學練功系列 (兩平面的夾角)

學測數A 113高中數學練功系列 (平面上的特定點)105學測 答對率:15%

學測數A 113高中數學練功系列 (平面的截距式)

學測數A 113高中數學練功系列 (利用外積求平面的方程式)

學測數A 113高中數學練功系列 (代點求平面方程式的係數)

學測數A 113高中數學練功系列 (平面方程式的圖形)

學測數A 113高中數學練功系列 (用三階行列式求平行六面體體積)

學測數A 113高中數學練功系列 (三階行列式)

學測數A 113高中數學練功系列 (平行六面體的計算)

學測數A 113高中數學練功系列 (內積與外積的綜合問題)

學測數A 113高中數學練功系列 (外積的計算與性質)

學測數A 113高中數學練功系列 (柯西與正射影)

學測數A 113高中數學練功系列 (利用內積求長度與夾角)

學測數A 113高中數學練功系列 (空間向量的內積計算)

學測數A 113高中數學練功系列 (空間向量的加減法與係數積)

學測數A 113高中數學練功系列 (多面體的頂點座標)

學測數A 113高中數學練功系列 (空間坐標系)

學測數A 113高中數學練功系列 (正四面體)

學測數A 113高中數學練功系列 (平面上的特定點)105學測答對率:15%